도닦는공돌이

[신호 & 시스템에대한 그냥..개인적인 제 생각과 정리를 한 글들일 뿐입니다. ]

1. 신호란 무엇인가? 

신호라는 것을 일정한 부호,소리,몸짓과 같은 정보를 전달하하거나 지시하는것으로 정의되며, 즉 통신을 하기 위한 수단이다.

신호는 -정의신호  -  결정신호    -| 연속신호 |    -주기신호,비주기신호 / 에너지,전력신호         로 구분할수가 있다. 

                                             -| 이산신호 |   

                         - 불규칙신호 

          -잡음신호

또한, 신호는 주기와 주파에 응답하는 크기값을 가지며 이것을 그래프로 표현하면 신호의 형태(파형)을 알수있다.

그래서 우리는 신호의 파형을 통하여 신호의 특성을 알수있다. 그러나 대부분의 신호는 해석이 쉬운 주기신호가 아닌 비주기신호이기 때문에 이를 해석하기위해서 먼저 주기신호의 정확한 해석이 선행되어져야 한다.

따라서 정확한 해석을 위하여 "표현법"이라는 개념이 도입되었다. 표현법은 시간영역표현과 주파수영역표현으로 나눌수 있으며

이 표현법 안에서 신호는 정현파신호( "하나의 주파수만을 가지는 고정된 아주 간단한 신호")의 합으로 표현된다.

왜냐하면 임의의 주기신호는 여러 정현파함수들의 조합으로 구성되기 때문이다. 

이것을 주파수영역에서 다룬것이 푸리에 해석이며, 주기신호들을 직교관계에 있는 삼각함수의 합으로 나태내는것이 푸리에 급수(시리즈)이다. 그리고 푸리에 변환은 비주기 신호들의 해석을 주파수영역의 무한주기의 개념으로 해석한것이다. 즉, 푸리에 변환은 푸리에 급수의 약점을 보완하기 위해 제안된 적분 변환을 의미한다.

[정리]

푸리에 급수는 주파수영역에서 주기적 아날로그 신호를 다룬다.
푸리에 변환은 주파수영역에서 비주기적 아날로그 신호를 다룬다.
 

이산 푸리에 급수는 주파수영역에서  주기적 이산 신호를 다룬다.

이산 푸리에 변환은 주파수영역에서  비주기적 이산 신호를 다룬다.

★왜 이런생각을 하지않았지?★

통신에서 푸리에 급수를 사용하는 이유는 무엇일까? 바로 신호처리가 쉽기 때문이다.  주기함수 f(t)를 그대로 사용하는 것이 쉬운가 아니면 삼각함수의 무한급수를 사용하는 것이 쉬운가? 언뜻 보면 무한급수가 없는  f(t)를 쓰는 것이 쉬울 것 같지만 우리는 주기함수  f(t)에 대해 아는 것이 없어 이걸 그대로 쓸 수는 없다. 하지만 푸리에 급수로 통칭하는 삼각함수의 무한급수는 계수 Fm만 결정되지 않았고 시간적 변화를 의미하는 삼각함수들은 모두 결정되어 있으므로 주기함수  f(t)의 성질을 푸리에 급수를 이용해 분석할 수 있다. 따라서 시간적으로 변하는  f(t)를 푸리에 계수 Fm만으로 결정할 수 있다. 이 뜻을 제대로 이해하는 것이 통신공부의 시작이다

-by Em turtle님의 블로그-

2. (시간영역) 시스템에서 신호를 해석하는 방법은? 

지금까지 신호에 대해서 설명하였다. 이제 이런 신호들을 원하는 형태의 목적신호로 변환해주는 시스템개념과 함께 설명하겠다. 

시스템이란 하나의 목적을 수행하기 위한 관련요소를 어떤 법칙에 따라 조합한 장치이며

여기에서는 "입력신호를 원하는 형태의 목적신호로 변환해주는 장치"로 알면 된다.

*왜 시스템이라는 개념을 도입했을까??------

: 통신시스템에서 입력신호(메시지 송신)는 어떠한 통신알고리즘에 처리되여 채널(유/무선)을 통과하고 다시 출력신호(메시지 수신)로 나오게 되는데 이를 전체적인 맥락에서 바라보았을 때 "시스템"으로 해석하면 좋기때문이다. 즉, 표현하려고 찾다보니 시스템이 딱 말하기 좋아서 사용했다고 생각하면 된다.------

시스템의 분류는 연결에 따라 직/병렬시스템, 입력귀환에 따라서 재귀/비재귀, 

처리하는 신호의 종류에 따라서 "연속/이산 시스템"으로 나뉘며,  

연속/이산시스템은 다시 선형,비선형/ 시변,시불변 / 인과,비인과/ 안정, 비안정 시스템으로 구분할수가 있다.

입력신호는 시스템에 인가되어 어떤 가공된 신호로 출력되는데 이 과정을 신호처리라고 한다.

그리고 신호처리를 이해하기 위해선 입력되는 신호와 해당 시스템과의 관계가 규정되어야 한다.

일단 어려운것들은 다 집어치우고

우리는 먼저 가장 간단하며 해석이 쉬운 "연속/이산 - 시불변시스템"에 정현파형태의 입력신호를 인가하여 출력신호를 구하는

[컨벌루션적분 및 합] 이라는 시스템 해석을 통해 신호 및 시스템의 개념이해에 접근해야한다.

  1) 첫번째 해석법 : 컨벌루션 적분법 

입력신호가 선형시불변시스템 (이하 L.T.I. : linear Time Invariant System) 에 입력되고 이에 대한 출력신호를 얻기위한 시스템 해석법이다. 이것은 단위임펄스 함수의 체질특성을 이용하여 해석하는 방법으로, 체질특성이란 연속시간신호 X(t)에서 원하는 시간의 신호값을 뽑아 낼수 있다는 의미이다.  (신호값 X(t)는 가중값이 곱해진 단위 임펄스들이 모인 그룹이라는걸 의미하기 때문이다)

 좀더 자세하게 설명하자면, 앞서 신호의 표현을 가장 기본단위한 정현파로 표현한다고 하였다. 동일하게 컨벌루션 적분도 입력신호를 가장 간단한 단위인 임펄스 함수들의 모임으로 표현하여 출력신호를 해석하겠다는 뜻이다. 따라서 h(t) = S{A(t)} 시스템출력은 시스템에 입력값 델타함수(임펄스함수)를 넣은것을 의미하여 이것을 우리는 임펄스 응답이라고 부른다. 그리고 해석을 위해 시스템은 선형시불변시스템으로 제한할것이며 여기에 임펄스함수로 표현된 입력신호를 입력하는것이 컨벌루션 적분이다.

컨벌루션 적분 = 연속시간 입력신호와 LTI시스템의 임펄스 응답과의 적분을 의미한다.

컨벌루션의 의미 : 2개의 함수를 시간 또는 주파수 영역에서 2개 중 1개의 함수를 Y 축 대칭 이동하면서 중첩 적분한 함수.

입력신호를 체질성질을 표현한 형태로 LTI시스템에 입력

중첩의 원리 적용

       시불변성을 만족

따라서 컨벌루션 표기와 함께 적으면 위의 식이 된다.

물론 이것은 시불변시스템의 중첩의 원리와 시불변성 특성을 이용하여 식변환을 하였기에 적분의 형태가 되었다.

★ 알고넘어가자 ★ :* 선형시불변 시스템이란 무엇인가? *

 이것은 선형 + 시불변 시스템의 합친말이다. 따라서 각각의 개념을 먼저 이해해야 한다.

시불변 시스템 : 임의의 연속 시간 입력신호가 다른 여러시간대에 시스템에 입력될지라도 동일한 결과를 출력하는 시스템이다.

선형시스템 : 입력신호의 변화에 따라 출력신호에서도 비례적으로 입력 변화량을 반영하는 시스템이다.

                  중첩의 원리를 만족하는 시스템.

-선형시스템의 2가지 특성 = 우리는 이를 중첩의 원리라고 부른다.

 (1) 가산성 : 두 연속시간신호가 더해져서 시스템에 입력되고 이를 통해 얻어진 출력신호가

                  두 연속시간신호를 분리해서 각각 시스템에 입력하고 얻어진 출력신호를 합친것과 동일하다.

                 즉, 더해서 넣어서 뺀거랑, 뺀거를 더한거랑 같다는 뜻..--;

 (2) 균일성 : 연속시간신호에 임의의 상수 a를 곱합 입력을 시스템에 입력하여 얻어진 출력신호는

                  연속시간신호를 입력하고 출력신호에 상수 a를 곱한것과 같다.

따라서 시스템을 해석하는데 가장 용이한 시스템이 바로 선형시불변(LTI)시스템이기 때문에 우리는 이것을 먼저 배운다.

해석법은 컨벌루션 적분(연속신호의 경우적용) 과 컨벌루션 합(이산신호인 경우에 적용) 이 있다.

★ 알고넘어가자 ★ :* 왜 임펄스함수를 사용하는가? *

모든 신호와 시스템은 각각의 미소구간에 대해 대응하는 임펄스 함수들의 적분형태로 나타낼수 있고 어떤 특정조건에서는 모든 시간에 대하여 각각의 임펄스 입력에 대한 출력이 선형적으로 나타나며 이런 일련의 임펄스들이 입력되면 출력 또한 각각의 임펄스 입력에 대한 출력들의 합으로 나타나게 된다. 따라서 임펄스 입력에 대한 시스템의 응답을 하나만 알아도 시스템에 대한 모든 입력에 대한 출력을 알수있기 때문에 우리는 임펄스 함수를 사용한다.

또한, 이를 해석하는 방법도 시간영역보다는 주파수영역에서 해석할때 더욱 더 쉬우며 많은 정보를 나타낼수가 있다.

4가지 특성 : 면적은 항상'1'로 일정하다 / 우함수의 성질을 가지고있다 / 체질특성을 만족한다 / 표본화성질을 만족한다. 

  2) 두번째 해석법 : 컨벌루션 합

앞서 설명한 컨벌루션 적분이 입력이 연속신호에 대해서 다루었다면 컨벌루션 합은 단지 입력 이산신호에 대해서 다룬것이다. 그리고 출력신호 또한 이산신호를 만족한다.

즉, 주어진 입력신호를 시간영역의 이산 단위 임펄스함수로 표현한 방법이다. 동일하게 선형성을 만족하는 가산성과 균일성을 특성 (중첩의 원라)으로 하며 3가지의 성질을 가지고 있다.

 ① 교환법칙

 ② 결합법칙 : 2개의 LTI이산시스템이 직렬일때만 성립

 ③ 배분법칙 : 2개의 LTI이산시스템이 병렬일때만 성립

이산시불변 시스템은 이산 입력신호가 시스템에 입력되어 얻어지는 출력이 전이 되기전의 입력에 의한 출력과 동일하게 나타나는 시스템이고, 이산 시변시스템은 입력신호가 임의로 전이되어 시스템에 입력되면 원래의 이산입력이 출력과는 다르게 나타나는 시스템이다.

유한 임펄스응답의 선형시불변시스템 = FIR 이라 부른다

유한 임펄스응답의 선형시불변시스템 = IIR 이라 부른다

3. (주파수영역) 시스템에서 신호를 해석하는 방법은? 

  1) 첫번째 해석법 : 푸리에 시리즈(=푸리에급수)  - 연속 주기신호를 다룬다

푸리에 급수는 정현파신호를 이용하여 복합신호가 구체적으로 어떠한 진폭과 어떤 주파수대의 정현파로 구성되어있는 지를 파악하고 해석하는 것을 의미한다. 그런데..왜 하필 주파수영역에서 해석하려고 애쓰는것인가? 그것은 신호파형에 따라서 그것을 시간영역에서 표현하는것은 효율적이 못하기 때문이다. 이는 COS파를 생각해볼때 신호의 파형이 시간에 따라 계속변하기 때문에 시간영역으로 표현하는것이 비효율적이라는 의미이다. 따라서 우리는 주파수는 주기의 역수관계로 주파수를 통하여 우리는 신호의 변화하는 속도를 한눈에 표현할수가 있다.

주파수영역 표현법은 시간영역의 기본 정현파신호를 오일러공식을 적용하여 복소수의 형태로 변환하는 것인데,

오일러공식은 정현파 신호의 주파수를 쉽게 찾아주기 때문이다. 그러나 복소수의 형태로는 각도와 위상을 표현하기에 무리가 있다. 따라서 이를 다시 지수함수의 형태로 즉 복소지수함수의 형태로 바꾸면 모든형태의 정현파를 표현할수가 있게 되는 것이다.

푸리에 급수의 풀이법

1.삼각함수의 형태 : 주기가 2pi인 주기함수를 주파수가 서로 다른 cos,sin함수의 무한급수 형태로 나타내는것.

F(x) = f(x+2pi) 일단 주기P는 2pi 이다.

임의의 주기함수에 대한 푸리에 급수 : f(x)= f(x+p) 일때 변수t에 대해서 주기p가 2pi가 되도록 변수를 변환시켜서 풀면된다.

2.  복소수형 푸리에 급수 : 아래의 공식에 대입하여 구하면 된다. 아래의 식은 임의으 주기형태에 적용하는 공식이다. 결국 주기가 2pi이더라도 아래의 임의의 주기형태만 알면 모든 형태를 풀수가 있기때문에 이것만 알면된다!

  2) 두번째 해석법 : 푸리에 변환  - 연속 비주기신호를 다룬다

연숙주기신호의 주파수 성분은 연속시간 푸리에 급수(시리즈)로 부터 얻었다. 그러나 신호는 주기신호보다는 비주기 신호가 대부분이다. 따라서 우리는 비주기 신호를 더 많이 구해야 한다. 먼저, 비주기 신호란? 주기가가 무한대인 신호이다.

푸리에 변환의 기본 개념은 아래와 같다.

주기 T를 무한대로 증가시키면 기본 주파수는 무한히 작은 크기가 될 것이다. 그 결과 기본주파수의 정수배 간격으로 구성되는 선 스펙트럼 주파수들은 주기가 무한대로 늘어난것과 반대로 기본주파수는 극도로 작아지므로 그 간격이 아주 조밀해져서 결국에는 연속이 된다. 따라서 이 결과를 푸리에 급수의 계수에 반영하면 우리는 푸리에 변환 공식을 얻게 된다.

푸리에 변환 : 비주기 신호 x(t)의 주파수 함수를 구하는 X(f)의 식

푸리에 역변환이란 : 주파수 함수 X(f)로부터 비주기 신호 x(t)를 구하는 것

(연속시간 푸리에 변환의 성질)

-선형성

-대칭성

-주파수 및 시간전이

-시간척도 조절 : 신호의 크기는 유지하면서 신호의 너비를 늘이거나 줄이는 연산을 의미함. 신호파형의 길이를 감소시키는 것을 압축이라고 하며 신호파형의 길이를 증가시키는 것을 확장이라고 표현한다.

*******************이산주기/비주기 신호의 주파수 해석은 동일하게 생략 *******************

 4. 라플라스 변환과 연속시스템? 

라플라스 변환의 기본전제는 LTI시스템에서의 적용이며, 연수시간 푸리에변환을 확장한것이기 때문에 연속시간 푸리에 변환의 정의와 흡사하다. 정의식은 아래와 같다.

  연속시간신호 x(t)가 인과적인 신호라면 적분구간은 0</t</00 와 같이 양의 구간만 존재하게 된다. = 단방향 라플라스변환

  (대부분 단방향으로 출제되며 발생하는 실제신호는 단방향이다)

라플라스변환표.hwp

★ 알고넘어가자 ★ :* 컨벌루션적분과 푸리에급수의 차이점은? *

 컨벌루션 적분은 입력 신호의 가장 작은단위인 정현파신호를 시간영역의 임펄스함수로 표현하여 접근한 방식이고

 푸리에 급수는 정현파신호를 주파수영역으로 변환하여 삼각함수의 합의 형태로 표현한 접근방식이다.